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改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計及其方差分析

文章來源：正航儀器瀏覽次數：發佈時間：2014-10-11

改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計及其方差分析

與可靠性試驗分析的數字模擬法類似，許多數字模擬的方法被發展起來用於可靠性試驗靈敏度估計[1-9]，在已發展得較為完善的可靠性試驗靈敏度分析的數字模擬方法中，Monte Carlo法和重要抽樣法的應用最為廣泛。Monte Carlo法以其思路簡單、易於實現、結果準確而常常作為一種檢驗其它新方法的標準[10]，但Monte Carlo可靠性試驗靈敏度分析方法的顯著缺點是計算效率低，其所需要的計算量往往是工程設計人員無法接受的。重要抽樣法由於將抽樣的密度中心移到了對可靠性試驗靈敏度貢獻較大的區域而提高了抽樣效率，加快了可靠性試驗靈敏度估計值的收斂速度[11]。

第二章通過對傳統重要抽樣法進行方差分析及變異系數估算驗證了傳統重要抽樣法進行可靠性試驗靈敏度分析的高效性，本章將在傳統重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析方法的基礎上提出一種改進的方法。改進方法的基本思想是利用失效域的性質來減少功能函數的計算次數，以提高靈敏度分析方法的計算效率。重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析首先必須尋找失效域的最可能失效點，而該點與可靠度指標是一一對應的。在標準正態空間中失效域位於以坐標原點為球心可靠度指標為半徑的超球外，所提方法正是利用失效域的這一性質來減少可靠性試驗靈敏度計算所需的功能函數的計算次數的。本章給出了詳細的分析過程及所提方法對單模式和多模式串聯繫統進行可靠性試驗靈敏度分析時估計值的方差和變異系數的計算公式，最後採用算例對所提方法的效率進行了說明。

1.1 改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析

由於獨立正態變量具有一定的普遍性，因此本章仍然主要研究獨立正態變量情況，即假設所研究問題包含的維基本變量相互獨立且均服從正態分布，，和分別為的均值與標準差。

第2.1節和2.2節已經分別給出了基於直接Monte Carlo法和基於重要抽樣法的可靠性試驗靈敏度分析過程，這裡不再詳述。

從式可知，採用重要抽樣法來估計可靠性試驗靈敏度時，需要計算每個重要抽樣樣本點處的功能函數值，以判別的函數值。若能夠利用失效域的一些性質來減少功能函數值的計算次數，則可以進一步提高可靠性試驗靈敏度估計的效率，改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析方法正是基於這一思路而提出的。

記設計點為，並記在標準正態空間中該點的坐標為，則。在維標準正態空間中，結構的失效域位於以坐標原點為球心以可靠度指標為半徑的超球之外。記可靠度指標為，則。以記超球內的區域，即，則顯然有，因此落入此超球內的樣本點的指示函數，對於這些樣本點無需再計算功能函數值。而樣本點是否落入區域可以簡單地由式所示的區域內的指示函數來判別。

引入區域的指示函數後，式所示的失效概率對第個變量的分布參數的可靠性試驗靈敏度可改寫成式所示的形式。

在數值模擬的過程中，用重要抽樣密度函數抽取的個樣本點的樣本均值來代替總體的數學期望，可以得到基於改進重要抽樣法的可靠性試驗靈敏度估計式如式所示。

為簡便起見，記，如2.2節所述，在獨立正態變量情況下，有

將代入式可得獨立正態變量情況下基於改進重要抽樣法的可靠性試驗靈敏度估算公式如下所示。

式中當、時，和的計算可分別參照式和，有，，其中為第個樣本的第個分量對應的標準正態化樣本，即。將和分別代入式可以得到基於改進方法的失效概率對變量均值和標準差的可靠性試驗靈敏度估計值。

從式可知，在改進的重要抽樣法中只需計算按照重要抽樣密度函數抽取的個樣本中外區域的樣本點的功能函數值即可，而判別樣本點是否落入區域只是一個顯式函數的計算，從而使得重要抽樣法的計算效率進一步提高。

1.2 改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值的方差分析

採用數字模擬的方法對真值進行估計均是近似的，為了對改進的重要抽樣法的收斂性有所瞭解，有必要對估計值作方差分析。對式所示的估計值求數學期望和方差可得

顯然，是可靠性試驗靈敏度的無偏估計。

在數值模擬的過程中考慮用樣本平均值和方差代替總體的數學期望和方差，可近似得到可靠性試驗靈敏度估計值的數學期望和方差如下所示。

變異系數為估計值的標準差與估計值均值的比值，反映了估計值的相對分散性。將式和代入式，可以得到改進重要抽樣法可靠性試驗靈敏度估計值的變異系數。

1.3 多模式串聯繫統的改進重要抽樣可靠性試驗靈敏度及其方差分析

在工程應用中，一個結構系統往往不是僅具有單一失效模式的，而常常包含多個失效模式，下面對包含多個失效模式的串聯繫統的可靠性試驗靈敏度估計值及其方差進行討論。

假設串聯繫統包含個失效模式，以表示每個模式的功能函數，則系統的失效域。

由可靠性試驗靈敏度的積分定義式可知結構系統的失效概率對第個變量的分布參數的靈敏度可以寫成下面的形式。

1.3.1 多模式串聯繫統的Monte Carlo可靠性試驗靈敏度估計

多模式串聯繫統的可靠性試驗靈敏度的Monte Carlo估計的基本思想和估算公式均與3.1節所述的單模式系統相似，只是將失效域用上面定義的系統的失效域代替，相應的，指示函數也要變換成系統的指示函數，仍然為具有兩個取值的指示函數，若，則，否則。

按照3.1節所述的方法，可以容易地寫出系統的可靠性試驗靈敏度的估算公式如下所示。

其中為按基本變量的聯合概率密度函數抽取的個樣本中的第個。

1.3.2 多模式串聯繫統的重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計

記結構系統的第個失效模式的設計點為，並記其在標準正態空間中的坐標為，則第個失效模式相應的可靠度指標如下所示。

以為均值中心點、以的方差為方差，可以構造出第個失效模式的重要抽樣密度函數，記其為。在式所示的系統的可靠性試驗靈敏度中引入函數，其具體表達式如式所示。

則可靠性試驗靈敏度可改寫成式的形式。

將式代入式後結構系統的可靠性試驗靈敏度可寫成式所示的以每個失效模式的重要抽樣密度函數為密度函數的數學期望之和的形式。

假設對於第個失效模式按抽取了個樣本點，則可靠性試驗靈敏度可以用下式樣本函數均值的形式來估計。

從式可知，採用重要抽樣法來估計可靠性試驗靈敏度時，需要計算每個重要抽樣樣本點在每個失效模式下的功能函數值。3.1節為進一步提高重要抽樣的效率引入了一個超球，利用失效域的性質可以僅計算超球之外的樣本點的功能函數值，從而減少功能函數的計算次數。多模式系統進行一次結構系統指示函數值的判斷就需計算個模式的功能函數值，因此對多模式系統可靠性試驗靈敏度分析的重要抽樣法進行改進，減少值的判別次數就顯得更加必要了。

1.3.3 多模式串聯繫統的改進重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計

在求得系統個失效模式的可靠度指標後，與單模式情況類似，我們可以在系統安全域內引入一個半徑最大的超球，亦稱之為球。此超球的球心取為標準正態空間的坐標原點，半徑取為,則顯然有超球內的區域與系統失效域不相交，即，因此對於落入區域的樣本點不再需要計算個失效模式的功能函數值來判別的值了。而樣本點是否落入只需簡單的採用區域的指示函數由式進行判別即可。將區域的指示函數引入式可得式所示的可靠性試驗靈敏度估算公式。

將3.1節中的表達式代入上式可得多模式串聯繫統的可靠性試驗靈敏度如下所示。

式中當、時，分別有、，代入式可分別得到系統失效概率對變量均值和變量標準差的可靠性試驗靈敏度。其中，表示按照第個模式的重要抽樣密度函數抽取的第個樣本的第個分量對應的標準正態化樣本，即。

1.3.4 多模式串聯繫統的改進重要抽樣可靠性試驗靈敏度估計值方差分析

對式求數學期望和方差，並在數值模擬的過程中近似用樣本平均值和方差代替總體的數學期望和方差，可求得可靠性試驗靈敏度估計值的期望和方差分別如式和所示。

1.4 算例分析

算例3.1：考慮算例2.2的九盒段結構，分別採用直接Monte Carlo法、傳統重要抽樣法和改進重要抽樣法對其進行可靠性試驗靈敏度分析，表31給出了失效概率及可靠性試驗靈敏度估計值的對照。

表31 算例3.1的失效概率及失效概率對變量均值的可靠性試驗靈敏度計算結果

方法

Monte

Carlo

傳統

重要抽樣

改進重要抽樣

計算功能函數值次數

106

6×104

57530

6×104

估計值

0.00979

0.009769

0.215%

0.009777

0.133%

變異系數

0.010057

0.006703

——

0.006565

——

估計值

-0.001326

-0.001324

0.151%

-0.001325

0.075%

變異系數

0.011960

0.008042

——

0.007872

——

估計值

0.001325

0.001334

0.679%

0.001334

0.679%

變異系數

0.012004

0.007986

——

0.007824

——

估計值

-0.001326

-0.001316

0.754%

-0.001318

0.603%

變異系數

0.011960

0.007962

——

0.007801

——

估計值

(×10-4)

3.31932

3.29196

0.824%

3.29497

0.734%

變異系數

0.012291

0.008307

——

0.008132

——

估計值

0.001562

0.001586

1.536%

0.001585

1.472%

變異系數

0.019196

0.013415

——

0.013119

——

估計值

0.001575

0.001607

2.032%

0.001605

1.905%

變異系數

0.019219

0.013125

——

0.012883

——

估計值

0.001562

0.001552

0.640%

0.001557

0.320%

變異系數

0.019218

0.013225

——

0.012921

——

估計值

(×10-4)

3.67274

3.65095

0.593%

3.64902

0.646%

變異系數

0.020699

0.014508

——

0.014245

——

備注：表中的相對誤差項表示將表中的Monte Carlo分析結果作為精確解，其它方法的估計值與精確解比較的相對誤差，以下相同。

從上述九盒段機翼模擬結構的工程算例可以看出，傳統重要抽樣法和改進重要抽樣法在計算功能函數次數之比為6×104：57530時，兩者的可靠性試驗靈敏度估計值和估計值變異系數均相同。而在計算功能函數值次數均為6×104時，改進重要抽樣法得到的靈敏度估計值的變異系數要小於傳統重要抽樣法得到的結果，可靠性試驗靈敏度估計結果也更加精確。

算例3.2：某內壓圓筒形容器圖3.1所示，其所用材料15MnV，基本隨機變量取為內徑、內壓強、壁厚以及屈服強度，原始數據取自文獻[14]，基本隨機變量相互獨立且服從正態分布，其分布參數見表32。對於常見的內壓圓筒形薄壁容器受二向應力[14],即軸向應力，周向應力，徑向應力。根據第一強度理論可得內壓圓筒的極限狀態函數為：。式中為等價應力，選用第一強度理論時對於本例。結構的失效概率及可靠性試驗靈敏度計算結果在表33中給出。

表32 算例3.2基本隨機變量的分布參數

隨機變量

均值

標準差

460mm

7mm

20MPa

2.4MPa

19mm

0.8mm

392MPa

31.4MPa

圖3.1 內壓圓筒形容器示意圖

表33 算例3.2的失效概率及可靠性試驗靈敏度計算結果

方法

Monte

Carlo

傳統

重要抽樣

改進重要抽樣

計算功能函數值次數

107

105

89247

105

估計值(×10-4)

4.579

4.59785

0.412%

4.58679

0.170%

變異系數

0.014775

0.006091

——

0.005755

——

估計值(×10-5)

2.7019

2.52315

6.616%

2.5197

6.743%

變異系數

0.037874

0.018458

——

0.017469

——

估計值(×10-4)

4.51372

4.51798

0.094%

4.50377

0.220%

變異系數

0.015489

0.006211

——

0.005867

——

估計值(×10-4)

-6.35394

-6.29526

0.924%

-6.28246

1.125%

變異系數

0.019508

0.008579

——

0.008097

——

估計值(×10-5)

-3.51183

-3.55497

1.228%

-3.55004

1.089%

變異系數

0.015532

0.006222

——

0.005884

——

估計值(×10-6)

7.8915

7.79646

1.204%

8.13953

3.143%

變異系數

0.181385

0.087971

——

0.079824

——

估計值(×10-4)

9.82728

9.8257

0.016%

9.79176

0.361%

變異系數

0.017763

0.007151

——

0.006762

——

估計值(×10-4)

6.57051

6.58925

0.285%

6.56984

0.285%

變異系數

0.034813

0.016573

——

0.015649

——

估計值(×10-5)

7.8879

8.02906

1.790%

8.03193

1.826%

變異系數

0.018146

0.007240

——

0.006850

——

從算例3.2的內壓圓筒的工程算例可以看出，傳統重要抽樣法和改進重要抽樣法在計算功能函數次數之比為105：89247時，兩者的可靠性試驗靈敏度估計值及其變異系數均相同。而在計算功能函數值次數均為105時，改進重要抽樣法得到的靈敏度估計值的變異系數比傳統重要抽樣法得到的結果小。算例3.1和算例3.2的工程算例充分說明瞭文中提出的改進的重要抽樣可靠性試驗靈敏度分析方法在工程應用中是一種高效的可靠性試驗靈敏度分析方法。

算例3.3：串聯繫統由兩個失效模式構成，其功能函數分別為，，其中包含的隨機變量均服從標準正態分布且相互獨立。表34給出了失效概率及可靠性試驗靈敏度估計值的對照。

表34 算例3.3的失效概率及其對變量均值和標準差的靈敏度計算結果

方法

Monte Carlo

傳統重

要抽樣

改進重要抽樣

結構分析的次數

107

105

86824

105

估計值

(×10-4)

5.5555

5.49429

1.102%

5.50027

0.994%

變異系數

0.013413

0.008752

——

0.008146

——

估計值

0.001866

0.001845

1.125%

0.001847

1.018%

變異系數

0.013787

0.008738

——

0.008132

——

估計值

(×10-4)

1.13748

1.08419

4.685%

1.0774

5.281%

變異系數

0.076383

0.035376

——

0.033193

——

估計值

0.006066

0.005989

1.269%

0.005997

1.137%

變異系數

0.014019

0.008287

——

0.007713

——

估計值

(×10-4)

1.99396

1.92066

3.676%

1.91251

4.085%

變異系數

0.135098

0.038167

——

0.035667

——

從上述多模式串聯繫統的算例可以看出，傳統重要抽樣法和改進重要抽樣法在結構分析次數之比為時，兩者的可靠性試驗靈敏度估計值及其變異系數均相同。本例為兩個失效模式，那麼改進方法節省的功能函數值計算次數就更多了，效率提高得更加明顯。在結構分析次數均為時，改進重要抽樣法得到的靈敏度估計值的變異系數比傳統重要抽樣法小。因此，改進重要抽樣法在分析多模式串聯繫統的可靠性試驗靈敏度時具有更高的估算效率。