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算例7.1：功能函數
，其中
，
為模糊變量，下面分別假設其隸屬函數為對稱梯形分布、對稱拋物型分布和對稱柯西型分布。表71、表72和表73分別給出了在上述不同隸屬函數分布情況下，結構的模糊隨機可靠性試驗和可靠性試驗靈敏度的數字模擬解以及採用不同等價正態化方法後結合線抽樣方法所得的可靠性試驗靈敏度估算結果。圖7.5、圖7.6和圖7.7給出了文中所提的不同等價方法對上述三種不同分布形式的隸屬函數的近似等價正態化的對照結果。
（1）假設模糊變量
的隸屬函數為對稱梯形分布，其中心值
、模糊幅度分別為：
，
。
表71 算例7.1
的隸屬函數為對稱梯形分布時模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度結果
|
方法 |
|
|
|
|
|
Pf |
|
By |
|
數值模擬 |
估計值 |
0.004517 |
0.010566 |
0.0006839 |
0.0001471 |
0.008474 |
5×107 |
—— |
|
變異系數 |
0.004572 |
0.004817 |
0.006665 |
0.025839 |
0.004441 |
|||
|
最大最小 |
估計值 |
0.004546 |
0.010593 |
0.0006872 |
0.0001464 |
0.008559 |
300 |
10.132 |
|
相對誤差* |
0.641% |
0.256% |
0.494% |
-0.468% |
0.999% |
|||
|
變異系數 |
0.001563 |
0.001280 |
0.001563 |
0.001280 |
0.001788 |
|||
|
等面積 |
估計值 |
0.004530 |
0.010570 |
0.0006847 |
0.0001416 |
0.008517 |
300 |
9.9736 |
|
相對誤差* |
0.276% |
0.039% |
0.127% |
-3.771% |
0.503% |
|||
|
變異系數 |
0.001501 |
0.001230 |
0.001501 |
0.001230 |
0.001717 |
*表示：將模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度的數字模擬解作為其真實值，將線抽樣的估算結果與之對比所得到的相對誤差。另外，表中的相對誤差項沒有考慮線抽樣方法所引起的誤差，即認為對於不同的近似等價正態化方法，線抽樣方法的精度對最終估算結果的影響均是相同的，以下相同。
由表71中計算結果可以看出，對於
較小的情況（本例為1/24），利用「最大最小」法和「等面積」法近似等價正態化對稱梯形隸屬函數後結合線抽樣方法均可以得到較高精度的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度估算結果。
圖7.5 算例7.1對稱梯形隸屬函數近似等價正態化結果
（2）假設模糊變量
的隸屬函數為
的對稱拋物型分布，其中心值
和模糊幅度
分別為：
，
。
表72 算例7.1
的隸屬函數為對稱拋物型分布時模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度結果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
數值模擬 |
估計值 |
0.004102 |
0.009964 |
0.000608 |
3.817×10-5 |
0.0074413 |
2×108 |
—— |
|
變異系數 |
0.002823 |
0.002916 |
0.011216 |
0.090500 |
0.002774 |
|||
|
最大最小 |
估計值 |
0.004078 |
0.009924 |
0.000602 |
2.156×10-5 |
0.0073827 |
300 |
2.824 |
|
相對誤差 |
-0.586% |
-0.397% |
-1.053% |
-43.533% |
-0.788% |
|||
|
變異系數 |
0.000110 |
9.161×10-5 |
0.000110 |
9.161×10-5 |
0.000125 |
|||
|
等面積 |
估計值 |
0.004083 |
0.009932 |
0.000603 |
2.451×10-5 |
0.007395 |
300 |
3.0090 |
|
相對誤差 |
-0.460% |
-0.320% |
-0.900% |
-35.807% |
-0.618% |
|||
|
變異系數 |
0.000125 |
0.000104 |
0.000125 |
0.000104 |
0.000142 |
|||
|
改進 最大最小 |
估計值 |
0.004100 |
0.009957 |
0.000606 |
3.419×10-5 |
0.007437 |
300 |
3.5090 |
|
相對誤差 |
-0.047% |
-0.066% |
-0.402% |
-10.431% |
-0.063% |
|||
|
變異系數 |
0.000175 |
0.000145 |
0.000175 |
0.000145 |
0.000199 |
|||
|
改進 等面積 |
估計值 |
0.004099 |
0.009956 |
0.000606 |
3.346×10-5 |
0.007434 |
300 |
3.5467 |
|
相對誤差 |
-0.079% |
-0.085% |
-0.440% |
-12.354% |
-0.105% |
|||
|
變異系數 |
0.000171 |
0.000142 |
0.000171 |
0.000142 |
0.000194 |
圖7.6算例7.1對稱拋物型隸屬函數近似等價正態化結果
由表72中計算結果可以看出，對於失效概率和失效概率對變量分布參數的可靠性試驗靈敏度（
除外），「最大最小」法和「等面積」法均可以得到精度較高的估算結果，而
需採用「改進最大最小」法和「改進等面積」法才能得到較高精度的估算結果，其中「改進最大最小」法的精度更高一些。且由圖7.6的對照結果也可以看出改進方法能夠更好的近似原對稱拋物型隸屬函數。
（3）假設模糊變量
的隸屬函數為
對稱柯西型分布，分布參數為
，
。
表73 算例7.1
的隸屬函數為對稱柯西型分布時模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度結果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
數值模擬 |
估計值 |
0.004087 |
0.009953 |
0.000602 |
-0.000938 |
0.007399 |
109 |
—— |
|
變異系數 |
0.001408 |
0.001457 |
0.007512 |
0.074888 |
0.001382 |
|||
|
等面積 |
估計值 |
0.004073 |
0.009918 |
0.0006011 |
-0.000759 |
0.007372 |
300 |
2.6504 |
|
相對誤差 |
-0.338% |
-0.356% |
-0.105% |
-19.150% |
-0.367% |
|||
|
變異系數 |
9.688×10-5 |
8.057×10-5 |
9.688×10-5 |
8.057×10-5 |
0.000110 |
由表73中計算結果可以看出，利用「等面積」法近似等價正態化對稱柯西型隸屬函數後結合線抽樣方法均可以得到可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度的較高精度的估算結果。對
的估計得到了相對誤差低於20%的估計值。
圖7.7 算例7.1對稱柯西型隸屬函數近似等價正態化結果
算例7.2：重新考慮圖2.1所示的九盒段結構[9]。
為第
個單元的強度，均為服從正態分布的基本隨機變量
，
；載荷P為具有對稱梯形隸屬函數的模糊變量，其中心值
，模糊幅度
，
。由失效模式的枚舉方法可求得結構體系的一個主要失效模式的極限狀態函數為：
。表74給出了採用不同方法所得的模糊隨機可靠性試驗靈敏度計算結果，圖7.8給出了兩種不同方法對原對稱梯形隸屬函數的近似等價正態化的對照結果。
圖7.8 對稱梯形隸屬函數的近似等價正態化對照圖
表74 算例7.2含對稱梯形模糊變量結構的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
數值模擬 |
估計值 |
0.006173 |
0.001599 |
0.001683 |
5×107 |
—— |
|
|
變異系數 |
0.015046 |
0.048822 |
0.013567 |
||||
|
最大最小 |
估計值 |
0.006292 |
0.001929 |
0.001676 |
150 |
0.2994 |
|
|
相對誤差 |
1.917% |
20.641% |
-0.441% |
||||
|
變異系數 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
1.755×10-9 |
||||
|
等面積 |
估計值 |
0.006261 |
0.001881 |
0.001665 |
240 |
0.2962 |
|
|
相對誤差 |
1.416% |
17.648% |
-1.049% |
||||
|
變異系數 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
2.781×10-9 |
||||
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
數值模擬 |
估計值 |
-0.025681 |
0.042606 |
0.025380 |
0.041785 |
-0.025094 |
0.041259 |
|
變異系數 |
0.015164 |
0.020460 |
0.015138 |
0.020286 |
0.015337 |
0.021126 |
|
|
最大最小 |
估計值 |
-0.025167 |
0.041307 |
0.025165 |
0.041303 |
-0.025167 |
0.041307 |
|
相對誤差 |
-2.003% |
-3.049% |
-0.846% |
-1.154% |
0.291% |
0.115% |
|
|
變異系數 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
|
|
等面積 |
估計值 |
-0.025043 |
0.041157 |
0.025042 |
0.041153 |
-0.025043 |
0.041157 |
|
相對誤差 |
-2.485% |
-3.400% |
-1.334% |
-1.513% |
-0.202% |
-0.248% |
|
|
變異系數 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
此工程算例，採用「最大最小」法和「等面積」法進行等價正態化後結合線抽樣進行估算，得到了較高精度的模糊隨機失效概率及模糊隨機可靠性試驗靈敏度。
算例7.3：非線性功能函數
，其中
，
為具有
的對稱拋物型隸屬函數的模糊變量，其中心值
和模糊幅度
分別為：
，
。不同方法所得的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度估算結果如表76所示。圖7.9給出了四種不同近似方法對原對稱拋物型隸屬函數的近似等價正態化的對照結果。
表75 算例7.3的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
數值模擬 |
估計值 |
0.000681 |
0.002067 |
-0.000383 |
0.000185 |
0.000210 |
5×107 |
—— |
|
變異系數 |
0.029287 |
0.035831 |
0.018117 |
0.020127 |
0.025235 |
|||
|
最大最小 |
估計值 |
0.000199 |
0.000680 |
-0.000138 |
4.507×10-5 |
5.500×10-5 |
300 |
1.0847 |
|
相對誤差 |
-70.745% |
-67.099% |
-64.034% |
-75.589% |
-73.836% |
|||
|
變異系數 |
0.009996 |
0.009393 |
0.009996 |
0.009393 |
0.010532 |
|||
|
等面積 |
估計值 |
0.000269 |
0.000891 |
-0.000177 |
6.502×10-5 |
7.669×10-5 |
300 |
1.1968 |
|
相對誤差 |
-60.423% |
-56.915% |
-53.714% |
-64.783% |
-63.515% |
|||
|
變異系數 |
0.011065 |
0.010389 |
0.011065 |
0.010389 |
0.011662 |
|||
|
改進 最大最小 |
估計值 |
0.000634 |
0.001884 |
-0.000374 |
0.000186 |
0.000200 |
300 |
1.5528 |
|
相對誤差 |
-6.820% |
-8.879% |
-2.303% |
0.773% |
-5.089% |
|||
|
變異系數 |
0.013429 |
0.012521 |
0.013429 |
0.012521 |
0.014215 |
|||
|
改進 等面積 |
估計值 |
0.000517 |
0.001577 |
-0.000313 |
0.000146 |
0.000159 |
300 |
1.4620 |
|
相對誤差 |
-24.025% |
-23.710% |
-18.170% |
-21.075% |
-24.488% |
|||
|
變異系數 |
0.012894 |
0.012044 |
0.012894 |
0.012044 |
0.013633 |
由表76中結果可以看出「改進最大最小」法的精度是四種等價正態化方法中最高的，由其確定正態型隸屬函數，再結合線抽樣方法能夠得到精度較高的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度估計結果，而其它三種等價正態化方法得到的估算結果誤差較大，特別是將「最大最小」法和「等面積」法確定的正態型隸屬函數直接用於模糊隨機失效概率及可靠性試驗靈敏度的估算其相對誤差是我們無法接受的。
圖7.9 算例7.3對稱拋物型隸屬函數近似等價正態化結果
算例7.4：某內壓圓筒形容器如圖7.10所示，其所用材料15MnV，原始數據取自文獻[10]，基本隨機變量取為內徑
、壁厚
以及屈服強度
，基本隨機變量相互獨立且服從正態分布，其分布參數見表76。內壓強
為具有對稱柯西型隸屬函數（
）的模糊變量，其分布參數為：
，
。由算例3.2可知對於常見的內壓圓筒形薄壁容器選用第一強度理論時
。採用不同方法所得的模糊隨機可靠性試驗靈敏度計算結果如表77所示。圖7.11給出了等效近似方法對隸屬函數近似等價正態化的對照結果。
|
表76算例7.4基本隨機變量的分布參數
|
圖7.10 內壓圓筒形容器示意圖 |
圖7.11 對稱柯西型隸屬函數的近似等價正態化結果
表77 算例7.4的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
數值模擬 |
估計值 |
0.006436 |
-0.0004958 |
0.006900 |
5×107 |
—— |
—— |
|
變異系數 |
0.007189 |
0.014354 |
0.005410 |
||||
|
等面積 |
估計值 |
0.006327 |
-0.0003849 |
0.006392 |
300 |
1.0539 |
-0.0932 |
|
相對誤差 |
-1.691% |
-22.367% |
-7.367% |
||||
|
變異系數 |
0.005050 |
0.004198 |
0.005744 |
||||
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
數值模擬 |
估計值 |
-0.0005154 |
0.001093 |
0.0003627 |
0.0001153 |
-0.009229 |
0.009269 |
|
變異系數 |
0.006013 |
0.006930 |
0.015665 |
0.073818 |
0.007589 |
0.014052 |
|
|
等面積 |
估計值 |
-0.0004984 |
0.001080 |
0.0003488 |
0.0001179 |
-0.008856 |
0.008686 |
|
相對誤差 |
-3.301% |
-1.174% |
-3.851% |
2.269% |
-4.043% |
-6.289% |
|
|
變異系數 |
0.005050 |
0.004198 |
0.005050 |
0.004198 |
0.005050 |
0.004198 |
此工程算例採用「等面積」法對對稱柯西型隸屬函數進行等價正態化後結合線抽樣方法得到了可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度精度較高的估計值。但上述方法對於
的估算結果不精確，相對誤差較高，需進一步改進。
針對對稱梯形隸屬函數下的結構的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題，本章採用了「最大最小」法和「等面積」法對其進行等價正態化，將其轉換成隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題，然後運用線抽樣方法對失效概率及可靠性試驗靈敏度進行估算，快速地、高精度地估算出模糊隨機失效概率和模糊隨機可靠性試驗靈敏度。文中僅對模糊幅度
與
相差較大的情況進行了詳細的討論，針對兩者相差不大的情況「最大最小」法及「等面積」法的等價正態化精度不高，還需要進一步的研究。
針對對稱拋物型隸屬函數下的結構的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題，本章分別採用了「最大最小」法、「等面積」法、「改進最大最小」法和「改進等面積」法對其近似等價正態化。本章通過不同的算例比較了上述四種方法的等價正態化近似對稱拋物型隸屬函數的優劣，結果說明，採用本章提出的「改進最大最小」法對對稱拋物型隸屬函數進行等價正態化將原問題轉換成隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度問題後結合線抽樣方法對其進行估算，得到的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度的估算結果的精度是四種方法中最高的。
對於對稱柯西型隸屬函數下的結構的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題，本章採用「等面積」法對其進行等價正態化，然後結合線抽樣方法進行可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題。文中採用這一思路得到了模糊隨機失效概率和除
外的可靠性試驗靈敏度的較高精度的估計值，而對於
的估算其相對誤差較大，還需進一步的研究。
