算例分析

算例8.1：非線性極限狀態函數為，其基本隨機變量和均為正態分布且相互獨立，、。的分布取為均值為0.5、標準差為0.2的正態分布。本例運用Monte Carlo抽樣106個的樣本點，得到4081個失效樣本來估計密度函數。以下給出四種擬合方法得到的失效概率函數和全局靈敏度的曲線圖。

對於此數值算例，利用4081個失效樣本點擬合失效概率函數，由圖8.1和圖8.2可知，基於上述四種方法所得的失效概率函數及全局靈敏度曲線均接近於參考精確解。相比較而言，基於正交多項式擬合密度函數的方法得到的失效概率函數及全局靈敏度曲線與參考精確解的曲線最為接近，其它三種方法得到的失效概率函數在區間尾部與參考精確解相對差異較大。

算例8.2：如圖8.3所示的Y型節點管，剖面A－A的載荷為軸向力，面內彎矩，截面彎矩，極限狀態方程為。其中、和為互不相關的正態分布隨機變量，其分布參數見表81。的分布取為均值為2×103、標準差為0.5×103的正態分布。本例運用Monte Carlo抽樣105個的樣本點，得到760個失效樣本來估計條件密度函數。以下給出四種擬合方法所得到的失效概率函數和全局靈敏度的曲線圖。

對於此工程算例，利用760個失效樣本點擬合概率密度函數和全局靈敏度。由圖8.4容易看出基於最大熵法、有限混合密度法和自適應核密度估計法得到的失效概率函數曲線在區間首部與參考精確解非常貼切，但在區間尾部誤差較大。基於正交多項式擬合概率密度函數方法得到的失效概率函數及全局靈敏度曲線在參數變化的整個區間內均與參考精確解的曲線較接近。圖8.5結果也說明基於正交多項式擬合概率密度函數的全局靈敏度分析結果更接近於參考精確解。

算例8.3：本例分析了如圖8.6所示的三跨度梁，其中。考慮三跨度梁撓度最大允許值為，可以建立極限狀態函數，式中為分布載荷，為彈性模量，為慣性矩，基本隨機變量均服從正態分布，且相互獨立，其分布參數見表82。的分布取為均值為10、標準差為0.4的正態分布。本例運用Monte Carlo抽樣105個的樣本點，得到900個失效樣本來估計條件密度函數。以下給出四種擬合方法所得到的失效概率函數和全局靈敏度。

對於此工程算例，利用900個失效樣本點擬合概率密度函數和全局靈敏度。由圖8.7可以看出基於有限混合密度和自適應核密度估計方法得到的失效概率函數曲線波動較大，其他兩種方法雖也有較大誤差，但與參考精確解的曲線的趨勢較為貼近。由圖8.8可以看出基於最大熵密度估計法與正交多項式擬合概率密度法所得的全局靈敏度曲線與參考精確解的曲線相差不大，而基於有限混合密度法與自適應核密度估計法得到的全局靈敏度仍然波動較大。

  結論

本章分別採用了最大熵法、有限混合密度法、自適應核密度估計法及正交多項式擬合法這四種不同方法擬合失效參數樣本的條件概率密度函數，並利用其結果求解失效概率函數，最終進行基於擴展可靠性試驗的全局靈敏度分析。算例結果表明，當用來擬合的失效樣本數較多時，上述四種方法均可以得到與實際解較為接近的失效概率函數及全局靈敏度結果；當用來擬合的失效樣本點較少時，有限混合密度法和自適應核密度估計得到的失效概率函數及全局靈敏度曲線的波動較大，最大熵密度估計法和正交多項式擬合概率密度函數法能夠得到較穩定的估算結果，且比之於最大熵法求解約束方程的計算，正交多項式擬合法更為精簡。